1. In the adjoining figure, sides QP and RQ of ΔPQR are produced to points S and T respectively. If ∠ SPR = 135º and ∠ PQT = 110º, find ∠ PRQ. ∵ TQR is a straight line, ∴ ∠ TQP + ∠ PQR = 180º [Linear pair] ⇒ 110º + ∠ PQR = 180º ⇒ ∠ PQR = 180º - 110º = 70º Since, the side QP of ΔPQR is produced to S. ∴ Exterior angle so formed is equal to the sum of interior opposite angles. ∴ ∠ PQR + ∠ PRQ = 135º ⇒ 70º + ∠ PRQ = 135º [∵ ∠ PQR = 70º] ⇒ ∠ PRQ = 135 - 70º ⇒ ∠ PRQ = 65º 2. In the adjoining figure, ∠ X = 62º, ∠ XYZ = 54º. If YO and ZO are the bisectors of ∠ XYZ and ∠ XZY respectively of ΔXYZ, find ∠ OZY and ∠ YOZ. In ∠ XYZ, ∠ XYZ + ∠ YZX + ∠ ZXY = 180º [∵ Sum of angles of a triangle is 180º] But ∠ XYZ = 54º and ∠ ZXY = 62° [Given] ∴ 54º + ∠ YZX + 62º = 180º ⇒ ∠ YZX = 180° - 54° - 62° = 64° ∵ YO and ZO are the bisectors ∠ XYZ and ∠ XZY respectively, [Given] ∠ OYZ =(1/2)∠ XYZ =(1/2)(54º) = 27º and ∠ OZY =(1/2)∠ YZX = (1/2) (64º) = 32º Now, in ΔOYZ, we have: ∠ YOZ + ∠ OYZ + ∠ OZY = 180º [By the angle sum property] ⇒ ∠ YOZ + 27º + 32º = 180º ⇒ ∠ YOZ = 180º - 27º - 32º = 121º Thus, ∠ OZY = 32º and ∠ YOZ = 121º 3. In the following figure, if AB || DE, ∠ BAC = 35º and ∠ CDE = 53º, find ∠ DCE. ∵ AB || DE and AE is a transversal. [Given ] ∴ ∠ BAC = ∠ AED [Interior alternate angles] But ∠ BAC = 35º [Given] ∴ ∠ AED = 35º Now, in ΔCDE, we have ∠ CDE + ∠ DEC + ∠ DCE = 180º [Using the angle sum property] ∴ 53º + 35º + ∠ DCE = 180º [∵ ∠ DEC = ∠ AED = 35º and ∠ CDE = 53 (Given)] ⇒ ∠ DCE = 180º - 53º - 35º = 92º Thus, DCE = 92º 4. In the figure, if lines PQ and RS intersect at point T, such that ∠ PRT = 40º, ∠ RPT = 95º and ∠ TSQ = 75º, find ∠ SQT. In ΔPRT ∠ P + ∠ R + ∠ PTR = 180º [By the angle sum property] ⇒ 95º + 40º + ∠ PTR = 180º ⇒ ∠ PTR = 180º - 95º - 40º = 45º But PQ and RS intersect at T, ∴ ∠ PTR = ∠ QTS [Vertically opposite angles] ∴ ∠ QTS = 45º Now, in ΔTQS, we have ∠ TSQ + ∠ STQ + ∠ SQT = 180º [By angle sum property] ∴ 75º + 45º + ∠ SQT = 180º [∵ ∠ TSQ = 75º and ∠ STQ = 45º] ⇒ ∠ SQT = 180º - 75º - 45º = 60º Thus, ∠ SQT = 60º <!--[if !supportLineBreakNewLine]-->5. In the adjoining figure, if PQ ⊥ PS, PQ ||SR, ∠ SQR = 28º and ∠ QRT = 65º, then find the values of x and y. <!--[endif]--> In DQRS, the side SR is produced to T. ∴ Exterior ∠ QRT = ∠ RQS + ∠ RSQ But ∠ RQS = 28º and ∠ QRT = 65º ∴ From ∠ RQS + ∠ RSQ = ∠ QRT, we have 28º + ∠ RSQ = 65º ⇒ ∠ RSQ = 65º ∠ 28º = 37º Since, PQ || SR and QS is a transversal. [Given ] ∴ ∠ PQS = ∠ RSQ [interior alternate angles] ⇒ x = 37º Again, PQ ⊥ PS [Given] ∴ ∠ P = 90º Now, in ΔPQS, we have ∠ P + ∠ PQS + ∠ PSQ = 180º [By angle sum property] ⇒ 90º + x + y = 180º ⇒ 90º + 37° + y = 180º [∵ x = 37º] ⇒ y = 180º ∠ 90º ∠ 37º = 53º Thus, x = 37º and y = 53º 6. In the adjoining figure, the side QR of ΔPQR is produced to a point S. If the bisectors of ∠ PQR and ∠ PRS meet at point T, then prove that ∠ QTR = (1/2) ∠ QPR. In ΔPQR, the side QR is produced to S. ∴ Exterior ∠ PRS = Sum of the interior opposite angles ⇒ ∠ PRS = ∠ P + ∠ Q Since QT and RT are bisectors of ∠ Q and ∠ PRS respectively, ∴ (1/2)∠ PRS =(1/2)∠ P +(1/2)∠ Q ⇒ ∠ TRS = (1/2) ∠ P + ∠ TQR …(1) Now, In ΔQRT, we have Exterior ∠ TRS = ∠ TQR + ∠ T ...(2) From (1) and (2), we have ∠ TQR + (1/2)∠ P= ∠ TQR + ∠ T ⇒ (1/2)∠ P= ∠ T i.e. (1/2) ∠ QPR = ∠ QTR or ∠ QTR = (1/2) ∠ QPR